Clever Space

题目大意：

在一个无向图中有T条边，每个点至少和两条边相连，每条边有一个长度，询问从给定起点到给定终点的包含N条边的路最短是多长。

问题规模：

1<=N<=1000000000, 1<=T<=100

这题我了解到3个方法，都很神牛，很有启发。

1.基于倍增的floyd

官方的解法。假设我们已经知道了两点间经过k条边的最短路，就可以利用floyd求出两点间经过k*2条边的最短路，于是我们可以依次求出经过1,2,4,8,16...条边的最短路，它们正好可以组成任何二进制数，我们只要把N分解成这些的和，再用floyd求一遍就可以了。复杂度O(T^3 logN)。

2.矩阵乘法思想

看到这题的数据应该很多人想到矩阵乘法快速幂，但矩阵乘法表示的是乘积的和，如果是要求经过N条边的路径数就可以直接这么做了，无奈之下只好放弃了这个想法。但其实我们可以尝试定义一个新的矩阵乘法，使它可以表示我们需要的结果。

原始的矩阵乘法是这样的：如果C=A*B 那么

我们可以定义C=A@B

于是样例的结果就可以表示为

可以证明运算@是满足结合律的，所以也可以用快速幂求出。

这个方法时间复杂度跟floyd是一样的O(T^3 logN)，而且写起来也差不多，以至于我认为它们本质上是一种方法。

3.部分贪心思想

这个是GYH神牛的论文《部分贪心思想在信息学竞赛中的应用》里的，核心有两点：

1.最短路径一定在一条较短边（这条路上的最短边）上来回走了很多次

2.路径上的其他边至多经过两次

证明详见论文。于是我们只需算出起点和终点到每个点经过2*T条边的最短路，然后枚举经过很多次的边，就可以在O(T^2)的时间内解决了。